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miércoles, 28 de septiembre de 2016

¡¡¡Abajo Apolonio!!!



En el mes de Diciembre de 1959 durante unos quince días, fue organizada una conferencia sobre la enseñanza de las matemáticas a instancias de la Organización Europea de Cooperación Económica para revisar las enseñanzas de matemáticas en la Educación Básica y que tuvo lugar en Royaumont (Francia). A esta conferencia asistieron matemáticos, pedagogos, inspectores, profesores de escuela secundaria, en total unas 60 personas. 

Jean Dieudonné, que fue el conferenciante inicial, en su discurso de apertura declaró con fuerza que es necesario cancelar definitivamente el estudio de la geometría y que toda la enseñanza de las matemáticas debe basarse en la teoría de los conjuntos y de las estructuras. De hecho pronunció con energía: "¡Abajo Euclides! ¡Abajo el triángulo! Solo así se logrará acercar el estudio de la matemática secundaria a los cursos de la Facultad Universitaria de Matemática".

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Eran épocas turbulentas con un mundo polarizado en el que algunas de estas personalidades estaban muy preocupadas porque la Unión Soviética estaba lanzando el Sputnik y había que generar rápidamente cerebros que emparejaran a occidente. Estabamos embarcados en esa desgraciada carrera a todos los niveles, afectando a la ciencia a la investigación y evidentemente también a la educación. Es así que surge el movimiento de la Matemática Moderna. En el mundo, la enseñanza de la geometría fue relegada a un plano inferior  y despreciada. Ignorándola como instrumento de razonamiento, ejemplo de práctica matemática y hasta como hecho cultural de la humanidad.

Por latitudes rioplatenses  nos mantuvimos en posturas más moderadas, como suele ser nuestra costumbre, y la geometría siguió latiendo. Mientras tanto vemos que en el resto del mundo comienzan a darse cuenta de algunos errores al respecto y la geometría vuelve a relucir y recuperar terreno. 

Me viene a la mente el sugerente título de una de las publicaciones de Coxeter y Greitzer, precisamente “Retorno a la Geometría”. Vale la pena rescatar la cita con la que comienza el prólogo de ese libro: 

"Aquel que desdeña la Geometría de Euclides es como el hombre que, al regresar de tierras extrañas, menosprecia su casa." H.G. Forder 

Así que definitivamente el título de esta entrada pretende ser una ironía sobre aquel ridículo grito. El cambio de protagonista, "Apolonio", se debe a que este geómetra griego, menos popular que Euclides, nos ha legado hermosos ejemplos. Cito alguno como sus famosos 10 problemas de tangencias y les dejo un link a un artículo de la revista SUMA. En una próxima entrada dedicaré algo de espacio a su obra.

A fines de 2015, visitó Montevideo, el matemático francés y medalla Fields, Cedric Villani. En su segunda charla, ofrecida a profesores de enseñanza media, se le preguntó por el contenido más apropiado que se debería ofrecer a estudiantes de dicho ciclo. Su respuesta fue contundente: La "Geometría del Triángulo".  Argumentó su respuesta comentando que no lo decía porque fuera un área de actual desarrollo de la matemática ni porque tuviera siempre aplicación directa a otras áreas sino porque su estudio tiene un fin en si mismo. Es un excelente campo de ensayo para los noveles estudiantes, del razonamiento matemático. Oportunidad de experimentar, apreciar y hasta disfrutar del trabajo matemático.

Creo que, lo que suele ocurrir, es que no llegamos a mostrarle a nuestros estudiantes al menos algunas de las inumerables joyas que podemos encontrar en la Geometría.
No dejan de sorprenderse cuando se les dice que, sin importar las características del triángulo, su Circuncentro, Baricentro y Ortocentro están siempre alineados en la que llamamos "Recta de Euler".


Si mueves los vértices del triángulo podrás observarlo

Y para alineaciones tenemos muchas otras que también son interesantes






Mueve el punto P hasta colocarlo en algún punto de la circunferencia. Verás que los puntos rojos quedarán alineados. La recta que los contiene se llama "Recta de Simson-Wallace".


Y se les cuenta a esos mismos estudiantes que Napoleón Bonaparte proponía problemas a los principales matemáticos de Francia siempre piden saber más sobre el asunto.


El problema propuesto por Napoleón dice que el triángulo cuyos vértices son cada centro de los equiláteros, es a su vez, equilátero!!





Aquí tenemos un triángulo cualquiera ABC y los respectivos triángulos equiláteros exteriores ABE, BCD y CAF.

Puedes explorar la figura y ver que no solo tenemos al "Triángulo de Napoleón" sino que además las circunferencias que circunscriben a los equiláteros se cortan en un mismo punto. Y que ese punto es también en el que concurren las rectas AD, BF y CE. Si no tienes suficiente aún podemos añadir que los "SEGMENTOS" AD, BF y CE tienen igual longitud.



Hace unos días, Miguel Angel Morales, en su blog Gaussianos, publica un lindo artículo sobre la increíble 

Circunferencia de Feuerbach, conocida también como la circunferencia de los 9 puntos. 

Además de las curiosidades propias de su determinación y que pueden ver en el artículo, añado la siguiente: 


La circunferencia de Feuerbach es simultáneamente tangente a otras cuatro vinculadas al mismo triángulo. A saber, la circunferencia inscrita y sus tres circunferencias exinscritas.




La "Geometría del Triángulo" , la de Euclides, la de la regla y el compás, la de siempre. Está plagada de hermosas joyas como estas. Claro que sin lugar a ninguna duda estas líneas se están escribiendo desde un lado apasionado. Sin duda es mucho pedir que todos tengamos los mismos gustos.


No quiero finalizar la entrada sin compartir un problema para despuntar el vicio. Les invito a disfrutarlo. A lo mejor en la próxima entrada conversamos sobre algunas de sus soluciones.

En el cuadrado de la figura, E es punto medio del lado CB y AF es perpendicular a DE. El triángulo AFB ¿Es isósceles?

Es un problema apto para todo público, así que anímense. 

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.






2 comentarios:

  1. Hola, me ha gustado mucho el artículo, vengo redirigido desde otro artículo de gaussianos en que se comentaba el premio a mejor post de éste de aquí.

    Quería comentar una solución sobre el problema planteado, por lo que quienes quieran pensar sobre la solución, es mejor que no sigan leyendo.

    Si prolongamos los segmentos DE y AB otro tanto hacia la derecha, éstos se cortarán en un punto X. El nuevo triángulo rectángulo formado AFX es un triángulo circunscrito en una circunferencia, siendo además su hipotenusa -el segmento AX- su diámetro. Por tanto, el centro de la circunferencia es B y las distancias BA y BF son idénticas, por lo que el triángulo es isósceles. No es equilátero ya que AF es menor que AB.

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    1. Felicitaciones y gracias por tu respuesta.
      Al plantear este problema no suele ocurrir que la primer respuesta sea de las más elegantes. En este caso sí lo es. Por lo general la gente se mete dentro de la figura en lugar de mirarla un poco de lejos y esto es lo que se necesita para ver tu solución.
      A mí me gusta mucho el problema porque es posible encontrar diversas soluciones aplicando herramientas diferentes. Es posible resolverlo empleando mediatriz y paralela media o también ángulos inscriptos y cuadriláteros cíclicos. Otra forma sería empleando geometría analítica (puaj!)
      Espero que a ti también te haya gustado el problema y gracias por escribir.

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