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viernes, 8 de diciembre de 2017

XV Torneo Geodin - Torneo de Geometría Dinámica 2017


Estimados todos. En este post quiero dirigirme a todos esos profesores entusiastas y entusiasmantes que con mucho esfuerzo pero también placer, trabajan para darle a sus estudiantes constantes oportunidades de aprendizaje. Sobre todo a aquellos que trabajan con chicos desde los últimos años de primaria hasta los estudios preuniversitarios.


Esta entrada participa en la edición 8.6 
del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, 
en esta ocasión, Matemático Soriano.


Para estudiantes talentosos, sobran las competiciones matemáticas de todo tipo. No hay problema para conseguirles material, información u actividades a esos chicos. A ellos no necesitamos motivarlos. Es cuestión de proponerles buenos desafíos y estar abiertos a que nos sorprendan.

Con otros chicos la cosa no es tan fácil. No se trata de seducir a todos nuestros estudiantes con algo que nos apasiona a nosotros pero no necesariamente a ellos. Pero si se trata de darles las oportunidades para que ellos puedan descubrir sus habilidades y gustos.

Les vengo a contar una experiencia que realizamos en Uruguay y que lleva más de 15 años integrando chicos con diferentes habilidades entorno a la actividad matemática. El "Torneo Geodin".



¿De que se trata?

Torneo Geodin quiere decir: "Torneo de Geometría Dinámica" Se trata de una competencia por equipos para estudiantes de primaria y secundaria.

Consiste en resolver problemas de geometría en equipo usando geogebra, que permite la exploración de los enunciados de una forma dinámica. Por ejemplo, modificar una figura al mover un punto sin que se alteren las relaciones geométricas determinadas. Esto permite realizar observaciones mediante experimentación y formular conjeturas que luego se tendrán que investigar.

Los problemas van desde los más clásicos que se puedan formular de la geometría sintética hasta la preparación de animaciones o simulaciones en las que se apliquen conceptos geométricos.

La mejor forma de entender en que consiste, es ver este video aquí abajo que tiene el resumen de los trabajos del último torneo que finalizó hace un mes. 






El Torneo tiene sus orígenes en una actividad anterior llamada "Torneo de Clubes Cabri" que se desarrollaba en Argentina y como lo dice el nombre, se utilizaba el software "Cabri Geometre" pionero en esto de la geometría dinámica. Luego nos sumamos nosotros y llegamos a realizar instancias binacionales. Con el paso del tiempo y el surgimiento de distintos programas de uso libre, el torneo en Uruguay cambió un poco su formato y pasó a llamarse "Torneo Geodin"

¿Quién organiza el torneo?

Un grupo de profesores voluntarios vinculados a la Com-Partida de Matemática del Uruguay
(La Com-Partida es quien organiza la Olimpíada Nacional de Matemática del Uruguay)

Página oficial del torneo: https://sites.google.com/site/torneogeodin

Twitter: https://twitter.com/torneo_geodin

Canal en youtube: https://www.youtube.com/channel/UC2ZnhlGTYSOO_AgrKBBVf9g?


¿Quiénes participan?

Pueden participar todos los estudiantes de niveles primaria y secundaria, en cuatro niveles de competencia

Nivel PRI: 5º y 6º de primaria
Nivel A: 1ro. y 2do. de liceo
Nivel B: 3ro. y 4to. de liceo
Nivel C: 5to . y 6to. de liceo

La prueba es por equipos de dos integrantes como mínimo y cuatro integrantes como máximo y cada equipo debe estar formado por integrantes del mismo nivel.


¿Cuándo son las pruebas? 

El desarrollo del Torneo consta de dos instancias:

La primera se desarrolla durante un mes (En el hemisferio sur la hacemos en agosto). Al momento de la inscripción del equipo, se le entrega la primer prueba que consiste en un repartido de 10 problemas que deberán entregarse con las resoluciones con fecha límite al útlimo día de ese mes. Se deben entregar los archivos del programa con las figuras geométricas de cada problema y el fundamento de la resolución.

En la segunda instancia participan aquellos equipos que hallan superado el nivel de suficiencia de la primera. Consiste en una única prueba que se realiza virtualmente en una fecha y horario determinados en la que se deben resolver tres problemas en tres horas.

¿Cómo son las pruebas?

Aquí dejo el link al banco de problemas 

Si llegaste a leer hasta acá y has encontrado interesante la actividad no dudes en escribirnos a

geodin.cpm@gmail.com

Estamos abiertos a contar más detalles de la actividad y dar una mano a quien quiera ofrecerle a sus estudiantes oportunidades similares.

Y quien sabe, ...si alguien se anima tal vez en 2018 hasta podamos hacer alguna instancia internacional nuevamente.

Desde MATECLIPS les deseamos Felices Fiestas para todos!!


Esta entrada participa en la edición 8.6 
del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, 
en esta ocasión, Matemático Soriano.








viernes, 1 de diciembre de 2017

Curso de Geometría Descriptiva (Matemática IV)


Poco a poco voy completando una buena colección de videos para el curso de Geometría Descriptiva.
Espero que este material les resulte útil a todos los estudaintes que tengan que preparar esta materia.

Desde ya quedan invitados a comentar los videos y el canal y suscribirse si lo desean.

Generalidades

Sistema Diédrico

Verdadera Magnitud

Aplicación Verdadera Magnitud

lunes, 18 de septiembre de 2017

Cálculo Integral - Integral indefinida

Tres ejemplos de aplicación de los métodos de integración para el cálculo de primitivas.  El primero es para aplicar el método de fracciones simples y los otros están resueltos por cambio de variable.











martes, 18 de julio de 2017

Inducción Completa

Inducción Completa


El Método de Inducción Completa o Inducción Matemática consiste en un método de demostración de propiedades que de alguna manera estén relacionadas con el conjunto de los números naturales.

Su fundamentación se basa en el Principio de Buena Ordenación y el conjunto de Axiomas de Peano.
En la resolución de problemas, la inducción matemática no es sólo un medio para probar una fórmula existente, sino también una poderosa metodología para encontrar tales fórmulas en primer lugar.

Cuando se utiliza de esta manera, el razonamiento inductivo permite obtener resultados generales haciendo conjeturas sobre la base de un conjunto finito de observaciones.

Es interesante notar que las demostraciones de este tipo abarcan diversas áreas de la Matemática como prueba de reglas y propiedades de álgebra, teoría de números o geometría.

Esta es una serie de videos que ilustran el principio y ejemplos de aplicación.  


Explicación del Principio de Inducción Completa o Inducción Matemática. Método de demostración de propiedades generales viculadas a los números naturales. Se incluye un ejemplo.




Este es un segundo video de Inducción completa o Inducción matemática que muestra mediante ejemplos la importancia de que se cumplan todas las condiciones del Principio para que una demostración sea válida.


Aplicación del método de Inducción Completa o Inducción Matemática en la demostración de propiedades relativas a números naturales. Deducción de la fórmula que genera los sumandos. Demostración. Aplicación al cálculo de una suma y la resolución de una ecuación.



Llamemos "Tablero de Ajedrez Defectuoso" a un tablero de 8x8 casillas al cual le suprimimos una de ellas. El objetivo es probar que, sin importar cual es la casilla suprimida, siempre será posible cubrir el tablero con fichas de "triminó" en L. 

El interés del problema radica en que una prueba posible es aplicando el "Método de Inducción Completa" o "Método de Inducción Matemática".


Finalmente les dejo aquí la Lista de Reproducción Completa




miércoles, 7 de diciembre de 2016

Estudio Analítico y Representación Gráfica

Como estamos en plena época de parciales y exámenes les dejo unos ejemplos de estudios de funciones reales que pueden servir de ayuda a estudiantes de Matemática I 6º año de bachillerato (3º BD) cualquiera de las orientaciones. 

Una función logarítmica, una exponencial y una con raíz cuadrada para hacer boca. 

Saludos y éxito en los exámenes








viernes, 25 de noviembre de 2016

Inducción Incompleta 


 Acabo de leer la entrada de Tito Eliatron Dixit y me decidí por hacer un aporte que va en su misma línea. No para superponer sino para sumar. 
 Por latitudes rioplatenses tenemos un dicho: "todo bicho que camina va a parar al asador" que hace alusión a nuestra tendencia a no perder oportunidad de hacer una barbacoa. Pero el dicho tiene otras dos interpretaciones. Una es que la usamos cuando queremos decir que nada se desperdicia y la otra es que si un recurso nos resulta útil lo empleamos hasta el cansancio. 
Es bastante frecuente observar en muchos estudiantes este comportamiento. Para "tal" problema aplico "tal" procedimiento (y cuando esto no funciona se quedan paralizados). Lo que, para ir entrando en tema, se traduce en "si de n depende, saldrá por inducción". 



“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, 

que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” 

cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”




 En mi país estudiamos el Principio de Inducción Completa y demostraciones por Inducción en el segundo año de bachillerato. Luego se retoma en cursos de Matemática Discreta en los primeros semestres de la universidad. Fundamentalmente aquellos cursos relativos a Matemática e Informática.

 Algunas veces perdemos el foco en los ejercicios que proponemos. Puros cálculos algebraicos para demostrar fórmulas para el cálculo de sumas o probar desigualdades (mecánicamente aburridos). A veces es tal el abuso que, al evaluar, ponemos más énfasis en los errores operatorios que en la aplicación del método. 

 A los ejemplos de José Antonio sumo alguno más. Intentar demostrar que para todo natural n siempre se cumple que 


o que


puede ser algo engorroso aplicando I.C. Como mínimo habría que gastar mucho de papel. Sin embargo, aplicando aritmética modular ambas se resuelven en pocos renglones. Esto hace que aplicar Inducción en estos casos es un derroche de energía.

 Por lo dicho hasta ahora, soy de la opinión de que es muy importante ver ejemplos donde la aplicación de Inducción Completa no solo sea realmente útil sino que también sea la opción más inteligente. Y para eso hay muchos ejemplos bonitos. 

 Problema 1: 

  Uno muy conocido y que está muy bien documentado en este post de culturacientifica.com es el siguiente:

Demostrar que es posible cubrir un tablero de ajedrez "defectuoso" con fichas de triminó en L sin que las fichas se superpongan o sobresalgan. 



 Nota 1: tablero "defectuoso" significa que uno de sus casilleros (sin importar cual) está inutilizado y no puede ser cubierto por fichas.

 Nota 2: Suponiendo que todos conocemos las fichas de dominó, una ficha de triminó tiene 2 formas posibles, en línea o en L. Las fichas de este problema son las segundas. Se supone que el tamaño de la ficha es tal que calza perfectamente con tres cuadrados del tablero.

 Comentario 1: ¿Donde está la n? Precisamente un aspecto bonito es que no solamente va a ser posible en un tablero de dimensiones 8x8 sino en cualquiera de dimensiones  


Comentario 2: Aplicar este problema en clase resulta muy entretenido. Al inicio les propongo a los alumnos que dibujen en sus cuadernos su tablero y anulen un casillero distinto al de sus compañeros (con bolígrafo). Luego intentan marcar las fichas a lápiz. Algunos llegan antes y otros después. Muchas veces terminamos discutiendo sobre combinatoria y rotaciones pero cuando no nos desenfocamos surge naturalmente la necesidad de probarlo sin importar el casillero anulado. 


Otro Ejemplo 


Problema 2: 

Sea n>1 el número de equipos de fútbol que participan de un torneo. Cada equipo juega un partido con cada uno de los n-1 equipos restantes. No hay empates. Probar que al finalizar el torneo siempre será posible numerar los equipos de 1 a n de forma tal que el equipo i le ganó al equipo i+1 para i=1,2,…,n-1. 


Dos clásicos geométricos

Problema 3: 

Demuestra que la suma de ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º(n - 2)  

Problema 4: 

 Demuestra que el número de diagonales (contando lados) de un polígono de n lados es n(n - 1)/2. 



Geométrico no tan clásico y con final sorprendente 

 Problema 5: 

 Se tienen n cuadrados de diversos tamaños. Probar que siempre es posible cortar los n cuadrados en piezas que permitan construir un gran cuadrado usando todas las piezas sin que queden huecos ni sobre nada. 


Problema 6: 


Se tienen 81 monedas de oro, todas iguales en todo salvo una que es más liviana. Hay que demostrar que es posible encontrar la moneda falsa usando una balanza de 2 platillos empleando solamente 4 pesadas. 



Pista pseudoútil: Podríamos preguntarnos al igual que en el problema del tablero ¿Dónde está n? 



 Sin duda esto es como con los números irracionales, al principio costaba encontrarlos y después resultó ser que eran infinitos. Así que ejemplos como estos debemos poder encontrar muchos más. Invito a todo el que conozca algunos por el estilo los comparta. Soy algo reticente a publicar soluciones en internet pero si algún interesado insiste podemos conversar sobre estos problemas en los comentarios.  
Finalmente, el título de la entrada es un poco en broma y tiene que ver con esta vieja publicidad de lámparas


 


“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, 

que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” 

cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”






domingo, 20 de noviembre de 2016

Sistemas de Numeración - Nueva Lista de Reproducción

Comienzo una nueva lista de reproducción en el canal MATECLIPS . El contenido versa sobre tópicos de teoría de números como divisibilidad y sistemas de numeración.



Los niveles abarcados van desde bachillerato a primeros años de universidad en cursos de orientación científica como Matemática II de 2ºBD científica o Matemática Discreta en cursos de informática.



Acá les dejo un problema de ejemplo en el que se aplica notación en base 10 y suma de potencias. Espero les guste.