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martes, 20 de septiembre de 2016

Resolución de ecuaciones - Rescate geométrico (Parte I)



El planteo de esta entrada es rescatar métodos gráficos de resolución de ecuaciones por su valor histórico. Además dan una alternativa que puede ser de provecho para los estudiantes que se inician en álgebra pensando que es bueno poder mostrarles distintas representaciones para abordar un mismo problema.





Introducción



La búsqueda de raíces de polinomios tiene la siguiente particularidad: Luego de un primer impulso en la Grecia clásica en Babilonia y en lo que ahora es India (Euclides, Brahmagupta, Bhaskara) hubo una gran brecha temporal donde no se registraron progresos. Recién en el Renacimiento, con el florecimiento de un lenguaje matemático más algebraico se retoman los avances (Cardano, Tartaglia, Viete). Generalmente en los cursos actuales de introducción al álgebra en enseñanza media es frecuente que se trabaje con los métodos algebraicos de esta segunda etapa. 



Los métodos gráficos de la antigüedad han sido olvidados.



Un Best- Seller

Si nos referimos al libro récord de todos los tiempos en cuanto a geometría se refiere, "Elementos de Euclides" vigente desde hace 2400 años podemos encontrarnos con que en la proposición 4 del Libro II dice:


"Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera 
es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el 
rectángulo comprendido por los segmentos." 

Expresado en una notación más actual sería equivalente a
$$\left(a+b \right ) ^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$$


Fórmula que conocemos como "Cuadrado del binomio"

Relacionar el texto de la proposición puede no ser evidente para todos y eso debe tener que ver con que la notación algebraica de la fórmula se desarrolló muchos siglos después a la proposición de Euclides. 


Pero podemos tender un puente entre el texto y la fórmula mediante la siguiente imagen.




Con este ejemplo queremos ilustrar el hecho de que muchas relaciones algebraicas han tenido inicialmente su origen en razonamientos de tipo geométrico.

Sin ir mucho más lejos podemos encontrar el LIBRO VI de los Elementos de Euclides proposiciones que muestran cómo resolver ciertas ecuaciones cuadráticas empleando métodos geométricos.

Observemos por ejemplo la siguiente figura:


De buenas a primeras la figura puede no significar nada o muchas cosas. ¿que tal si agregamos que la figura representa la factorización de un polinomio de segundo grado donde el cuadrado grande tiene lado x y los cuadraditos de la esquina inferior derecha tienen lado 1 ? ¿te animas a determinarlo? ¿y cuál es su descomposición factorial?



Es posible que las siguiente imágenes aclaren un poco el panorama:


Si eso no es suficiente puedes ver el video donde mostramos la factorización propuesta





Así es como factorizaban los griegos primero y los árabes después hasta hace unos mil años atrás.

               






Esta forma de trabajar con cuadráticas considerando los "cuadrados" como "áreas de cuadrados" y los productos de magnitudes de primer grado como "áreas de rectángulos" han caído en el olvido y han sido sustituidas por un lenguaje algebraico cargado de notación procurando formalización. Con el nuevo lenguaje del álgebra se obtienen muchos beneficios indiscutibles pero el costo es, a veces, una pérdida en la visualización e intuición. De todas formas, este tipo de visualizaciones forman parte del trabajo cotidiano de los matemáticos y de toda persona que quiera comprender y utilizar estas herramientas matemáticas.



¿A qué llamamos completar el cuadrado?



Por lo general con ese título nos referimos a un procedimiento algebraico alternativo a la fórmula de Bhaskara pero observemos un procedimiento geométrico que bien puede llevar el mismo nombre.





Para ver la deducción de la fórmula conocida como " de Bhaskara" pueden consultarse este recurso:



Método de Euclides

Para ecuaciones de la forma



$$x^{2}+nx=m$$

con valores positivos de n y m, los griegos empleaban también el siguiente método



Se construye un segmento AB de longitud n 

Sobre la recta perpendicular a AB por B se construye el segmento BD de longitud m, 

Con centro en el punto medio C del segmento AB se construye una circunferencia que contiene a D 

El punto de corte de la cfa. con semirrecta de origen A que contiene a B es E. 

Hecha la construcción, la longitud del segmento BE corresponde a una de las raíces positivas de la ecuación en caso de que tenga.

En la siguiente presentación hecha con geogebra puedes ensayar la construcción cambiando los parámetros m y n





Les proponemos como ejercicio ensayar para qué valores de los parámetros m y n es posible obtener solución con este método.

Hasta aquí llegamos por la entrada de hoy. Tendremos una nueva parte en unos días con la descripción de otro método debido a Eduard Lill y Thomas Carlyle. 







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