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viernes, 23 de septiembre de 2016

Resolución de ecuaciones - Rescate geométrico (Parte II)

Esta es la continuación del artículo "Rescate geométrico" que iniciamos en nuestra entrada anterior. En dicho artículo analizamos métodos geométricos olvidados para la resolución de ecuaciones. En esta nueva parte se desarrolla un método constructivo para obtener las raíces de una ecuación polinómica empleando regla y compás

Circunferencia de Carlyle





Otro método geométrico interesante es el ideado por Eduard Lill (1830-1900), Ingeniero Austríaco que en 1867 en la Exposition Universelle en París, presentó una máquina mecánica para determinar raíces de polinomios.


Thomas Carlyle (1795-1881) fue un historiador, escritor y poeta escocés que gustaba de la matemática y en sus ratos libres se entretenía con construcciones geométricas con regla y compás.

Carlyle empleó y difundió el método de Eduard Lill restringido a ecuaciones cuadráticas. Por ese motivo a la construcción que se debe realizar se la denomina "Circunferencia de Carlyle".


Descripción del método:


Si se quiere hallar las raíces de  $$ax^{2}+bx+c=0$$

primero la reescribimos de la forma $$x^{2}-Sx+P=0$$

En el sistema cartesiano de coordenadas se toman los puntos A(0,1) y D(S,P).

La circunferencia de diámetro AD corta al eje de abscisas en puntos cuyas abscisas son las raíces del polinomio. (si es tangente, la raíz es doble y si no corta la ecuación no tiene raíces reales).






Dos justificaciones de la construcción, una utilizando Geometría Analítica (Ecuación de la circunferencia) y otra aplicando Geometría Euclideana (Potencia, cuadriláteros cíclicos) quedan propuestas para realizar como actividades.


Método de Lill

Ya comentamos en el apartado anterior que Lill ideó un método geométrico para construir con regla y compás soluciones de ecuaciones polinómicas. La circunferencia de Carlyle es una reducción del método para el caso de cuadráticas. Pero el sistema ideado por Lill puede trabajar incluso con ecuaciones cúbicas y mayores grados.


Descripción del método


Por ejemplo si se quieren hallar las raíces del polinomio

$$4x^{3}+3x^{2}-2x-1$$

procedemos de la siguiente manera:

  • En el sistema cartesiano de coordenadas, partimos desde el origen y dibujamos un segmento de 4 unidades de longitud hacia la derecha porque el primer coeficiente es 4. 
  • Luego continuamos la poligonal hacia arriba 3 unidades porque el segundo coeficiente es un 3. 

Notemos que giramos 90º en sentido antihorario, si el coeficiente hubiera sido negativo el giro sería horario.



  • Después dibujamos un segmento de longitud 2 hacia la derecha porque el tercer coeficiente es un -2 y entonces el giro fue horario. 
  • Finalmente dibujamos un segmento de 1 unidad de longitud hacia arriba porque el término independiente es -1.

La poligonal resultante es la azul en el dibujo y es una forma gráfica no habitual de representar un polinomio.

A continuación comenzamos a dibujar una nueva poligonal roja partiendo del origen pero abriendo un ángulo (alfa) con el primer segmento azul.


  • El primer segmento tiene por extremos el origen de coordenadas y un punto de la recta que contiene al segundo segmento azul. 
  • Luego se gira 90º en sentido horario porque el segundo coeficiente es positivo. 
  • Se continúa la poligonal hasta cortar la recta que contiene al tercer segmento. 
  • Se gira 90º en sentido antihorario porque el tercer coeficiente es negativo. 
  • Finalmente prolongamos la poligonal hasta cortar la recta que contiene al cuarto segmento azul.

Si ambas poligonales tienen el mismo punto final, el valor -tan(alfa) es raíz del polinomio!!!



En la siguiente figura animada tenemos graficadas ambas poligonales. Puedes "mover" el punto azul para tratar de conseguir que los extremos coincidan. También tenemos graficado el polinomio y un punto de coordenadas (-tan(alfa), P(-tan(alfa))) para observar cuando se obtienen las raíces.

En el caso del ejemplo tenemos tres raíces reales, búscalas.






Biografía de Eduard Lill



Lecturas complementarias



Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill, Thomas C. Hull
(Resolviendo ecuaciones cúbicas con plieges)

Margharita P. Beloch fue la primera persona, en 1936, que mostó como con origamis (plegando papel) era posible resolver ecuaciones cúbicas e ideó un método tan poderoso como las construcciones con regla y compás para hacerlo. El artículo presenta la prueba haciendo uso del método geométrico de Eduard Lill para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas.


Carlyle Circles and the Lemoine simplicity of polygon constructions, Duane W. DeTemple.

Artículo que muestra la aplicación del método de Lill y la reducción de Carlyle para la construcción de polígonos regulares. En particular se muestra el caso del pentágono regular, el polígono regular de 17 lados y el 65537-gono!!

Project Origami: Activities for Exploring Mathematics

Libro de actividades que incluye la descripción del método de Lill para ejecutar con pliegues de papel.


Referencias


Who was Who in polynomial factorization, Joachim von zur Gathen,
Universitat Bonn
A History of Mathematics, Florian Cajori, 1909. 

HISTORY OF MODERN MATHEMATICS, DAVID EUGENE SMITH, 1906
First Course in the Theory of Equations, Leonard Eugene Dickson, 1922
Mathematics and Its History, John Stillwell

Planteamiento y Solución de Problemas de Ecuaciones,
Usando Estrategias y Métodos Propuestos en el
Desarrollo Histórico de la Teoría de Ecuaciones, Luis Enrique Zambrano García, Universidad Nacional de Colombia, Tésis de Maestría
Geometric Construction of Roots of Quadratic Equation
DU COMPAS AUX INTEGRAPHES : LES INSTRUMENTS DU CALCUL GRAPHIQUE,
Dominique TOURNES
Vorlesungen Uber Die Entwicklung Der Mathematik Im 19. Jahrhundert, Felix Klein 
Machines for solving algebraic equations, J. S. Frame
NOTE ON LILL'S METHOD OF SOLUTION OF NUMERICAL EQUATIONS, B. MEULENBELD
M. E. Lill: Résolution Graphique des équations numériques de tous les degrées à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but, Nouvelles Annales de Mathematiques, Series 2, Vol. 6, 1867
CONSTRUCTIONS D’EQUATIONS ALGEBRIQUES
Le Calcul Simplifié Par Les Procédés Mécaniques Et Graphiques: Histoire Et Description Sommaire Des Instruments Et Machines À Calculer, Tables, Abaques Et Nomogrammes (1905) del francés Maurice D´Ocagne

Animation for Lill's Method by Dan Kalman
Theory of equations" de H. W. Turnbull (1946)
Project Origami: Activities for Exploring Mathematics

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